FUNGSI IMPLISIT

Dalam matematika, sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel tak bebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

y=f(x)

Fungsi implisit sering berguna dalam keadaan yang tidak memudahkan buat memecahkan persamaan dalam bentuk R(x,y) = 0 untuk y yang dinyatakan dalam x. Bahkan bila memungkinkan untuk menyusun ulang persamaan ini untuk memperoleh y sebagai fungsi eksplisit f(x), hal ini boleh jadi tidak diinginkan, karena pernyataan f jauh lebih rumit dari pernyataan R. Dalam keadaan lain, persamaan R(x,y) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan suatu fungsi sama sekali, dan sebenarnya mendefinisikan fungsi bernilai ganda. Bagaimanapun, dalam banyak keadaan, bekerja dengan fungsi implisit masih dimungkinkan. Beberapa teknik dari kalkulus. seperti turunan, dapat dilakukan dengan relatif mudah menggunakan fungsi implisit.

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Bentuk fungsi terbagi menjadi 2 yaitu fungsi eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.

Misalkan tentukanlah turunan dari

· Fs Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka = 2x + 2

· Fs Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y = -4x + 1 sehingga

Misalkan bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0 maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah bentuknya menjadi

Differensial Parsial dan Differensial Total

Definisi : dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud

1. = turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggap konstan(y dianggap konstan)

2. = turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggap konstan(x dianggap konstan)

3. df = dx + dy

 dan  disebut Differensial Parsial

df = dx + dy disebut Differensial Total

Turunan Pertama Fungsi  f(x, y) = 0 maka df = dx + dy = 0 berarti

Turunan Kedua dirumuskan :

Cara menyelesaikan soal bentuk Differensial Total

1. Cara I

Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) = dx + dy

Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) = 4x2y + 3xy3 – 2x + 1

Jawab :

Tentukan dulu nilai dari   dan  sehingga didapat :

= 8xy + 3y3 – 2 dan = 4x2 + 9xy2 maka differensial totalnya adalah

df (x, y) = dx + dy

df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2 + 9xy2) dy

dari f(x, y) = 0

      df(x , y) = d(0)

dx + dy = 0

dy = dx   sehingga

2. Cara II

Masing – masing diturunkan terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai)Nyatakan  dalam x dan y

Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2 + y2 = 100

Cara I :

x2 + y2 – 100 = 0

f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0

= 2x dan  = 2y jadi  maka  =

Cara II :

x2 + y2 – 100 = 0

(x2 + y2) =  (100) dimana y fungsi x

(y2) = (y2) .  

            = 2y

2x + 2y  = 0

2y  = - 2x